Определение.Частными производными второго порядка от функции называются частные производные от ее частных производных первого порядка.

Для практических примеров справедливо следующее равенство:

Таким образом, через смешанные производные второго порядка очень удобно проверять правильность нахождения частных производных первого порядка.

а) Найти частные производные второго порядка функции

1.Считаем переменную y константой, применяем правило дифференцирования суммы, правило вынесение постоянного множителя за знак производной и табличную производную степенной функции:

2. Полученную функцию еще раз продифференцируем по «икс», т.е. найдем вторую производную по «икс»:

3.Считаем переменную х константой, применяем правило дифференцирования суммы, правило вынесение постоянного множителя за знак производной и табличную производную степенной функции:

4. Полученную функцию еще раз продифференцируем по «игрек», т.е. найдем вторую производную по «игрек»:

5. Найдем смешанную производную «икс по игрек». Для этого первую производную по «икс» продифференцируем по «игрек».

5. Найдем смешанную производную «игрек по икс». Для этого первую производную по «игрек» продифференцируем по «икс».

б) Найти частные производные первого порядка функции Проверить, что Записать полный дифференциал первого порядка dz.

1.Найдем частные производные первого порядка, применяя правила вычисления производной произведения, суммы, вынесения постоянного множителя за знак производной и табличные интегралы тригонометрических функций:

в) Показать, что данная функция удовлетворяет уравнению

1.Найдем частную производную заданной функции по «икс»:

3. От полученной функции найдем частную производную по «икс»:

4. Найдем частную производную заданной функции по «игрек»:

7. Вычтем из результата, полученного в п.5, результат п.6: