Определение. Пусть -- целые числа. Говорят, что число делится на , если можно представить в виде

1. Если в равенстве два числа делятся на , то и третье число делится на .

Выше был описан случай, когда говорят о так называемом делении числа нацело, но так бывает далеко не всегда, в этом случае рассматривают деление с остатком.

Определение. Разделить целое число a на целое число b с остатком - это значит представить его в виде

Основную роль во всей арифметике целых чисел играет теорема о делении с остатком.

Теорема. Для любых целых a и b существует единственная пара чисел q и r, удовлетворяющих условиям,

то q называется неполным частным, а r - остатком от деления a на b.

Из теоремы о делении с остатком следует, что при фиксированном целом m>0 любое целое число, а можно представить в одном из следующих видов:

Например, любое целое число можно представить в виде или .

Решение: Так как число 3оканчивается цифрой 1, то и любая его степень вида (3)оканчивается цифрой 1. Найдём остаток от деления числа 1995 на 4. Имеем 1995=4498+3. Значит, 3=(3)3. Первый множитель оканчивается цифрой 1, а второй - цифрой 7. Значит, произведение оканчивается цифрой 7, то есть число 3 оканчивается цифрой 7.

2. Какие остатки могут получиться при делении квадрата целого числа на 3?

Решение: Всякое число a в соответствии с остатками от деления его на 3 может быть представлено в одном из видов: a=3k, a=3k+1, a=3k+2 (k-целое число).

Мы видим, что число aлибо делится на 3, либо при делении на 3 даёт остаток 1. Тем самым мы показали, что квадрат целого числа при делении на 3 не может дать остаток 2.

3. Докажем, что, если остаток от деления числа на 9 есть 2, 3, 5, 6, 8, то это число не может быть квадратом целого числа.

Решение: Рассмотрим классы чисел, на которые разбивается множество целых чисел при делении на 9.

При делении на 9 целые числа, являющиеся полными квадратами, дают в остатке числа 0, 1, 4, 7. Следовательно, числа, дающие в остатке 2, 3, 5, 6, 8 не могут являться квадратами целых чисел.