Теперь мы перейдем к изучению рядов, члены которых являются вещественными числами любого знака.

Заметим, что в этом определении ничего не сказано о том, предполагается ли при этом сходимость самого ряда (1.49). Оказывается, такое предположение оказалось бы излишним, ибо справедлива следующая теорема.

Теорема 1.9. Из сходимости ряда (1.50) вытекает сходимость ряда (1.49).

Доказательство. Воспользуемся критерием Коши для ряда (т. е. теоремой 1.1). Требуется доказать, что для любого найдется номер такой, что для всех номеров удовлетворяющих условию и для любого натурального справедливо неравенство

Фиксируем любое . Так как ряд (1.50) сходится, то в силу теоремы 1.1 найдется номер такой, что для всех номеров удовлетворяющих условию и для любого натурального справедливо неравенство

Так как модуль суммы нескольких слагаемых не превосходит суммы их модулей, то

Сопоставляя неравенства (1.52) и (1.53), получим неравенства (1.51). Теорема доказана.

Определение 2. Ряд (1.49) называется условно сходящимся, если этот ряд сходится, в то время как соответствующий ряд из модулей (1.50) расходится.

Примером абсолютно сходящегося ряда может служить ряд.

Этот ряд сходится абсолютно, ибо при сходится ряд (1.33).

Приведем пример условно сходящегося ряда. Докажем условную сходимость ряда

Так как соответствующий ряд из модулей (гармонический ряд), как мы уже знаем, расходится, то для доказательства условной сходимости ряда (1.54) достаточно доказать, что этот ряд сходится. Докажем, что ряд (1.54) сходится к числу . В п. 2 § 9 гл. 6 ч. 1 мы получили разложение по формуле Маклорена функции

Там же для всех х из сегмента получена следующая оценка остаточного члена:

Полагая в двух последних соотношениях будем иметь

Обозначая через частичную сумму ряда (1.54), мы можем переписать последнее неравенство (1.55) в виде

Из (1.56) следует, что разность представляет собой бесконечно малую последовательность. Это и доказывает сходимость ряда (1.54) к числу