Пусть функция f (z) – определена и непрерывна в области G, а G – кусочно-гладкая кривая, лежащая в области G; z=x+iy, f(z)=u+iv, где u=u(x,y), v=v(x,y) – действительные функции переменных x и y. Вычисление интеграла от функции w=f(z) сводится к вычислению криволинейных интегралов второго рода

Если кривая задана параметрическими уравнениями x=x(t), y=y(t), а начальная и конечная точки дуги соответствуют значениям t= a , t= b , то

Пусть Г – кусочно-гладкая кривая, состоящая из гладких частей Г ₁ , Г ₂ . Г _n . Тогда

Теорема : Если f(z) является аналитической функцией в некоторой односвязной области G, ограниченной кусочно-гладкой кривой Г, и на самой кривой, то

Из теоремы Коши следует, что если w=f(z) – аналитическая функция в односвязной области G, то интеграл не зависит от пути интегрирования Г (зависит только от начальной и конечной точек). В этом случае для вычисления интеграла применяется формула Ньютона-Лейбница:

F (z) – какая-либо первообразная функции f(z), т. е. F ' ( z)=f(z).

Для нахождения первообразной аналитической функции f(z) применяют те же табличные формулы и приемы интегрирования, что и при нахождении неопределенных интегралов для функций действительного переменного.

Пусть теперь f(z) – аналитическая функция, как во внутренних точках (n+1) – связной области D, ограниченной кусочно-гладкими кривыми g ₀ , g ₁ . g _n , (причем каждая из кривых g ₁ . g _n лежит вне остальных и все они расположены внутри g ₀ ), так и на границе, т. е. на граничных кривых. В таком случае справедлива теорема Коши для многосвязных областей:

Следует отметить, что в этой ситуации сами внутренние кривые обходятся в “отрицательном” направлении, т. е.

здесь кривые g ₀ , g ₁ . g _n обходятся в “положительном” направлении, т. е. против часовой стрелки.

Если теперь z 0 О D, то выполняется также и интегральная формула Коши: