Используя алгоритм Евклида найти НОД и выразить его через исходные многочлены

НОД нашел, он равен 1. А вот что значит выразить его через исходные многочлены? И как это сделать?

По-моему, Вы ошиблись при нахождении НОД. Он здесь равен $%x^2-2$%. Проверьте.

Под словом "выразить" в этом контексте имеется в виду представление наибольшего общего делителя в виде $%d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x)$%, где $%u(x)$% и $%v(x)$% -- какие-то многочлены. Их требуется найти, чтобы выполнялось указанное равенство. Есть теорема, что для НОД оно будет выполнено при удачном выборе множителей.

Одним из способов решить эту задачу является метод неопределённых коэффициентов. Пусть степени $%f$% и $%g$% равны $%m$% и $%n$%. Тогда $%u$% и $%v$% подбираются в виде выражений степени $%n-1$% и $%m-1$% с буквенными коэффициентами. После раскрытия скобок и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях у многочленов в левой и правой части получится система из $%m+n$% линейных уравнений от такого же количества неизвестных. Этот метод очень часто бывает удобен, но здесь лучше поступить по-другому.

Алгоритм Евклида в общем виде устроен так. Сначала делим $%f_1$% на $%f_2$%, получая остаток $%f_3$%. Затем делим $%f_2$% на $%f_3$%, обозначая остаток через $%f_4$%. И так далее, пока не окажется, что $%f_$% нацело разделилось на $%f_n$%. Тогда $%f_n$% и будет являться НОД.

Теперь, идя по записям снизу вверх, мы сначала выражаем $%f_n$% через $%f_$% и $%f_$%. Это легко сделать, так как $%f_n$% появилось как остаток от деления $%f_$% на $%f_$%. Далее мы можем по такому же принципу выразить $%f_$% через $%f_$% и $%f_$%. Подставляя это выражение в предыдущую формулу, мы сможем избавиться от $%f_$%, после чего $%f_n$% окажется выраженным уже через $%f_$% и $%f_$%. Далее идём вверх по такому же принципу, и итогом будет выражение $%f_n$% через $%f_1$% и $%f_2$%, что нам и требуется.

Для примера: пусть $%f_1=f_2q_1+f_3$%, $%f_2=f_3q_2+f_4$%, $%f_3=f_4q_3$%. Тогда НОД равен $%f_4$%, и мы его выражаем как $%f_4=f_2-f_3q_3=f_2-(f_1-f_2q_2)q_3$%, и далее после упрощений получается выражение вида $%f_1u+f_2v$%.