В этом разделе вы найдете бесплатные примеры по линейной алгебре (линал): матрицы и векторы, их характеристики, линейные пространства и подпространства и нахождение базиса, системы линейных уравнений и т.п. Изучайте алгебру на примерах (еще рекомендуем посмотреть список учебников и видеоуроков, примеры решенных контрольных).

Задача 1. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования $A$, заданного уравнениями $x'=5x+4y, y'=8x+9y$.

Задача 2. Для каждого из следующих множеств геометрических векторов определить, будет ли это множество линейным подпространством пространства $V_3$ :

2) векторы, образующие с данным ненулевым вектором $\overline$ угол $\alpha$;

3) множество векторов, удовлетворяющих условию $|\overline|=1$ .

Задача 3. Пусть $L$ - множество многочленов степени не выше 2, удовлетворяющих условию $p(1)+p'(1)+p''(1)=0$. Доказать, что $L$ - линейное подпространство в пространстве $P_2$. Найти его базис и размерность. Дополнить базис подпространства до базиса всего пространства.

Задача 4. Образуют ли многочлены $p_1(x)=x^3+x^2-1$, $p_2(x)=x^2-2x$, $p_3(x)=x^3+x$, $p_4(x)=x^2-3$ базис в пространстве $P_3$?

Задача 5. Доказать, что матрицы вида образуют линейное подпространство в пространстве матриц $M_<22>$. Найти его базис и размерность. Дополнить базис подпространства до базиса всего пространства.

Задача 6. Найти собственные значения и собственные вектора линейного оператора, заданного в некотором базисе матрицей $А$.

Задача 7. Найти в ортонормированном базисе $(i,j,k)$ матрицу линейного оператора $f: E^3 \rightarrow E^3$, переводящего любой вектор $x$ в вектор $y=f(x)$, $f(x)=(a,x)a$, если $a=i-j+2k$.

Задача 8. Даны матрицы $A$ и $B$. Требуется найти матрицу $(\alpha A+ \beta B)A^T$, где $A^T$ - матрица, транспонированная к $A$.

Задача 9. Найти матрицу, обратную матрице $A$. Сделать проверку.

Задача 10. Исследовать на совместность и решить систему уравнений:

Задача 11. Исследовать на совместность и решить систему уравнений: