Определение 1. Многочлен f(x) ¹ 0 из Р[х] называется приводимым над полем Р, если его можно представить в виде произведения многочленов выше нулевой степени, т.е. f(x) = g(x)×h(x), где cm g(x) < cm f(x) & cm g(x) ¹ 0, cm h(x) < cm f(x) &cm h(x) ¹ 0.

Определение 2. Многочлен f(x)ÎP[x] называется неприводимым над полем P, если:

2. f(x) не разлагается в произведение многочленов меньшей степени.

Пример 1. Многочлен f(x)=x 2 + 1 = (x - i)(x + i) приводим над полем С и неприводим над полем R и Q.

Многочлен h(x) = x 2 - 5x + 6 = (x - 3)(x - 2) приводим над Q, R и С.

Замечание 1. Многочлены нулевой степени не входят в класс приводимых и неприводимых многочленов, а образуют свой класс, т.е. если множество натуральных чисел мы разбили на три класса:

Замечание 2. Приводимость многочленов зависит от поля Р. (смотри прим. 1)

Также как в кольце Z, в кольце Р[х] можно доказать аналог основной теоремы арифметики.

Теорема"f(x) ¹ 0, f(x)ÎP[x], cm f(x)>0 разлагается в произведение неприводимых многочленов единственным способом, с точностью до порядка следования многочленов нулевой степени.

Доказать самостоятельно теорему и следствие из неё.

Покажем, что задача о разложении многочлена на линейные множители (многочлены первой степени) сводится к задаче нахождения корней многочлена f(x) в поле Р.

Пусть f(x)=a_nx n + a_n-1x n -1 +. + a₁x + a₀ и aÎР. Подставим вместо х в f(x) a. Получим, f(a)=a_na n + a_n-1a n -1 +. +a₁a+a₀ = cÎP. Элемент (с) называют значением многочлена f(x) при х = a и записывают: f(a) = c.

Определение 3. Элемент aÎР называют корнем многочлена f(x), если f(a)=0.

Ответ на вопрос о существовании корней многочлена f(x) над полями C, R и Q даёт основная теорема алгебры.

Теорема 1. f(x) Î C[x], ст f(x) > 1 имеет хотя бы один корень.

Опираясь на эту теорему и определение понятия корня многочлена, можно доказать теорему 2.