Пример 1 .

Функция не определена в точках , уже нарушено первое условие непрерывности, следовательно, в этих точках функция испытывает разрыв.

Для выяснения характера разрыва нужно вычислить односторонние пределы в точках .

Так как левый предел в точке равен бесконечности, то в ней разрыв II рода.

Так как правый предел в точке равен бесконечности, то в ней разрыв II рода.

Пример 2 Функция определена на всей числовой прямой, но при этом она не является непрерывной, так как , , , т.е. правый и левый пределы в нуле не равны между собой и не равны значению функции в нуле, нарушены 2 и 3 условия непрерывности. Так как правый и левый пределы в нуле существуют и конечны, то это разрыв I рода.

Пример 3 Функция неопределена в нуле, следовательно , – точка разрыва.

Так как и , то это устранимый разрыв, функцию можно в нуле доопределить “по непрерывности”, положив равной единице.

Пример 4

Функция является элементарной, поэтому она непрерывна в области её определения. В область определения не входят точки , , , следовательно, они являются точками разрыва данной функции.

Так как , то точка является точкой

разрыва второго рода функции .

Односторонние пределы функции в точке равны, но функция при не определена, следовательно, является устранимой точкой разрыва первого рода.

Так как заданная функция является четной функцией, то, очевидно, что

, и является точкой разрыва второго рода функции .

Для построения эскиза графика функции исследуем поведение функции при

и . Так как функция четная, то

Построим эскиз графика функции .

Предлагаем наиболее хорошие на наш взгляд учебники для самостоятельного изучения математики и экономики

Компактные справочные материалы, формулы по различным разделам высшей математики и экономической статистики.

Некоторые задачи можно решить онлайн, введя числовые значения, с подробным решением.