§ 251. Сопряженные числа. Практический способ деления комплексных чисел

Комплексное число а — bi называется сопряженным к комплексному числу а +bi . Например, число 2 — 3i является сопряженным к числу 2 + 3i, число 5 + 4i — сопряженным к числу 5 — 4i, число —6i (= 0 — 6i) — сопряженным к числу 6i (= 0 +6i ) и т. д.

Поэтому любое действительное число равно своему сопряженному. Верно и обратное утверждение: если комплексное число а +bi равно своему сопряженному, то есть

то это число действительное. В самом деле, из (1) вытекает, что b = — b или b = 0. Следовательно, а +bi = а + 0 • i = а, что и требовалось доказать.

Таким образом, из всех комплексных чисел действительные числа (и только они) равны своим сопряженным числам.

Число а — bi является сопряженным к числу а + bi . Но число а + bi будет, очевидно, сопряженным к числу а — bi. Таким образом, числа а + bi и а — bi являются сопряженными друг другу. Поэтому они называются взаимно сопряженными комплексными числами. Очевидно, что любые взаимно сопряженные комплексные числа а + bi и а — bi изображаются на плоскости точками, симметричными друг другу относительно действительной оси (см. рис. 331).

Произведение двух взаимно сопряженных комплексных чисел есть число действительное.

Доказанное свойство взаимно сопряженных чисел позволяет довольно просто производить деление комплексных чисел. Пусть нужно найти частное

Умножим числитель и знаменатель этой дроби на число с — di, сопряженное знаменателю. В результате мы получим дробь, знаменатель которой будет действительным числом:

Теперь, используя дистрибутивный закон умножения относительно сложения, получим:

Изобразить данные и сопряженные к ним числа точками плоскости: