$p$ – простой, если $p$ нельзя представить в виде $p=ab$, где $a,b$ – необратимые.

4) $b_1. b_m$ делится на $a \Rightarrow b_1c_1+. +b_mc_m$ делится на $a$

Определение. $K$ – факториальное кольцо, если любой элемент $a \in K$ можно представить в виде

Теорема. Пусть $K$ – произвольное целостное кольцо с разложением на множители. Тогда факториальность $K$

эквивалентна утверждению: любой $p$ – простой, делящий $ab$, делит по крайней мере один из множителей.

НОД$(a,b)$ определен с точностью до ассоциированных элементов.

E1) $\delta(ab) \geqslant \delta(a)$ для любых $a,b \in K \setminus \<0\>$

r_k|r_ \Rightarrow r_k|r_ \Rightarrow . \Rightarrow r_k|r_2,

Теорема (линейное выражение НОД). В евклидовом кольце $K$ любые два элемента $a,b$ имеют НОД и НОК. При помощи алгоритма Евклида можно найти $u,v \in K\colon$ НОД$(a,b)=ua+vb$

r_1=a-q_1b \Rightarrow r_1=u_1a+v_1b \Rightarrow . \Rightarrow r_k=ua+vb

Следствие. $a,b$ – взаимно простые $\Leftrightarrow \exists u,v \in K\colon au+bv=1$

$a(au_1u_2+bv_1u_2+cu_1v_2)+bcv_1v_2=1 \Rightarrow a \cdot u+bc \cdot v=1$

Лемма. Любое евклидово кольцо является кольцом с разложением.

Допустим, $\delta(a) = \delta(b) \leqslant \delta(b(1-qc)) = \delta(b-qa) = \delta(r) < \delta(a) \Rightarrow \delta(b) < \delta(a)$

$\delta(a) = \delta(a_1. a_m) > \delta(a_1. a_) > \delta(a_1. a_) > . > \delta(a_1) > \delta(1)$

Разложение с максимальным количеством множителей – разложение $a.

$\mathbb[x_1. x_n]$ – неевклидово, тем не менее $\mathbb[x_1. x_n]$ – факториально.

Неприводимые многочлены – простые элементы в $\mathbb[X]$

Над любым конечным полем существуют неприводимые многочлены сколь угодно высокой степени.

$f$ – неприводимый многочлен над $\mathbb[X] \Rightarrow f$ – неприводимый многочлен над $\mathbb[X]$

$a_1. a_n$ делятся на простое $p$, при этом $a_n$ не делится на $p^2 \Rightarrow f$ – неприводим над $\mathbb$.

f$ – приводим $\Rightarrow f=(x^s+b_1x^+. +b_s)(x^t+. +c_t)$ над $\mathbb_p,

$a_n=b_sc_t \Rightarrow a_n$ делится на $p^2$ – противоречие. $\blacksquare$