Докажем теперь, что нуль кольца обладает обычным свойством при умножении:

Теорема 1. Если один из сомножителей равен нулю, то и все произведение равно нулю, т. е.

Докажем лишь первое из равенств, так как второе вытекает из первого при помощи IV. По определению нуля и разности 0 = b - b для любого b. Отсюда a*0 = a(b - b) = ab - ab = 0.

Однако теорема, обратная теореме 1, верная для чисел, уже не сохраняется для любых колец, иными словами, если произведение двух элементов кольца равно нулю, то нельзя утверждать, что хотя бы один из них равен нулю. Так, в приведенном выше примере 10 кольца, составленного из пар (a, b) целых чисел, нулем является, очевидно, пара (0, 0). Если взять целые числа и , то пары (a, 0) и (0, b) отличны от нуля кольца, но (a, 0)(0, b) = (0, 0).

Определение 2. Элементы a и b кольца, для которых , , но ab = 0, называются делителями нуля. Кольцо без делителей нуля называется также областью целостности.

Теорема 2. Из ab = ac следует b = c, если только и не является делителем нуля.

Доказательство. Из ab = ac следует ab - ac = 0 или a(b - c) = 0. Но так как и не делитель нуля, то b - c = 0, b = c.

В дальнейшем нам придется иметь дело исключительно с кольцами без делителей нуля. Для них из ab = ac и следует b = c.

При умножении справедливы обычные правила знаков, а именно: