Скалярное произведение часто называют скалярным умножением.

Механический смысл скалярного произведения. Если - вектор силы, а –вектор пути, то А= а - работа, совершаемая силой по перемещению материальной точки из начала вектора ав его конец.

1) Коммутативный закон : а = а

Доказательство следует из определения скалярного произведения.

2) Ассоциативный закон относительно скалярного множителя.

;

Доказательство следует из выражения скалярного произведения через ортогональную проекцию.

3) Скалярное произведение и сложение векторов связаны законом дистрибутивности: (а+ )с=ас+ с (это правый дистрибутивный закон).

Выполняется и левый дистрибутивный закон: с(а+ )=са+с .

Свойства скалярного произведения в векторной формеследуют из определения скалярного произведения.

1) Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда они ортогональны.

( а а ) (а ) (3.2)

2) Модуль вектора равен арифметическому значению квадратного корня из скалярного произведения вектора на самого себя.

(3.3)

Пример. Найти длину с=3a-4b,если

3) Косинус угла между векторами а, вычисляется по формуле:

cos (3.4)

4) Ортогональная проекция векторов а, вычисляется по формулам:

(3.5).

5) Если векторы заданы координатами в ортонормированном базисе:

= i + j + k, = i + j + k,то скалярное произведение векторов находится по формуле:

а = + + (3.6)

Для доказательства формулы (3.6) нужно найти скалярное произведение векторов, перемножая их как многочлены и используя таблицу скалярного произведения векторов i, j, k

6) Модуль вектора равен арифметическому значению квадратного корня из суммы квадратов его координат: