ФУНКЦИЯ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО — функция, у которой независимая переменная х и сама функция у принимают значения из области действительных чисел. Функция действительного переменного часто называют просто функцией. Функцию действительного переменного наглядно изображают при помощи графика (см. График функции). Если функция действительного переменного задана некоторым аналитическим выражением, то ее областью определения Е_х обычно считают множество ее допустимых значений — всех тех действительных значений х, для которых аналитическое выражение дает для у действительное значение.

Примеры: 1. у=1 — х²; область определения Е_х этой функции есть все множество действительных чисел — ∞ < х < +∞, множество ее значений Е_у = <—∞ < y ≤ 1>, ее график — парабола (рис. 304). 2. Пусть у есть целая частьх, т. е. у=[х] есть наибольшее целое число, не превосходящее числа х. В этом случае Е_х = < ∞ < х < +∞>, Еу есть множество всех целых чисел, а график показан на рис. 305. Иногда эту функцию обозначают у=Е(х), где E—начальная буква французского слова Entier — целый.

3. Функция Дирихле y=D(x) определяется так: если х — рациональное число, то у= 1, если х — иррациональное число, то у=0. В этом случае область определения Е_х , как и в первых двух примерах, есть вся числовая ось, множество значений Е_у состоит из двух чисел 0 и 1.

4. Функция у= √ sin х . В этом примере Е_х состоит из отрезков: 0 ≤ x ≤ π, 2π ≤ х ≤ Зπ, — 2π ≤ π ≤ —π, …; Е_у = <0≤у≤1>(рис. 306)5. Факториал у=х! Здесь Ех есть множество натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, . . ., n, . . Е_у — множество чисел: 1, 2, 6, 24, …n!,….