Функции: \(f\left( x \right),\left( x \right),\left( x \right), \ldots ,\left( x \right)\)

Ряд, члены которого являются функциями, называется функциональным рядом . В общем виде функциональный ряд записывается как

\(\sum\limits_^\infty <\left( x \right)> = \left( x \right) + \left( x \right) + \left( x \right) + \ldots + \left( x \right) + \ldots, \)

Функциональный ряд, членами которого являются степенные функции аргумента \(x\), называется степенным рядом :

где \(\) − коэффициенты степенного ряда (постоянные действительные числа).

Часто рассматривается степенной ряд , расположенный по степеням \(<\left( > \right)>\):

Рассмотрим функцию \(f\left( x \right) = \sum\limits_^\infty <<<\left( > \right)>^n>> \). Ее областью определения является множество значений \(x\), при которых ряд сходится. Данная область определения называется интервалом сходимости .

Если интервал сходимости представляется в виде \(\left( <- R, + R> \right)\), где \(R > 0\), то величина \(R\) называется радиусом сходимости . Степенной ряд сходится абсолютно в каждой точке интервала сходимости. Сходимость в граничных точках \( <- R>\) и \( <+ R>\) устанавливается отдельно.

Степенной ряд можно почленно интегрировать на отрезке, расположенном внутри интервала сходимости. Если \(-R < b < x < R\), то справедливо соотношение

\(\large\int\limits_b^x\normalsize = \large\int\limits_b^x\normalsize <dt> + \large\int\limits_b^x\normalsize <tdt> + \large\int\limits_b^x\normalsize <dt> + \ldots + \large\int\limits_b^x\normalsize <dt> + \ldots \)

Если интегрирование выполняется на отрезке \(\left[ <0,x>\right]\), то интеграл выражается формулой

\(\large\int\limits_0^x\normalsize = \large\int\limits_0^x\normalsize <dt> + \large\int\limits_0^x\normalsize <tdt> + \large\int\limits_0^x\normalsize <dt> + \ldots + \large\int\limits_0^x\normalsize <dt> + \ldots \\ = x + \large\frac<<>><2>\normalsize + \large\frac<<>><3>\normalsize + \ldots = \sum\limits_^\infty <\large\frac<<>>><>\normalsize> + C.\)