Опр Ряд по степеням называется сходящимся на множестве , если сходятся ряды . В противном случае ряд называется расходящимся.

1) Если существует или , то степенной ряд равномерно сходится внутри круга и расходится в каждой точке вне его замыкания ; круг называется кругом сходимости, а число - радиусом сходимости степенного ряда. Сумма степенного ряда является аналитической функцией в круге сходимости.

2) Пусть функция голоморфна на окружности . Положим

.

Пусть существуют пределы . Тогда ряд по степеням ( ряд

Лорана функции ) сходится к равномерно внутри кольца

, и имеет на каждой компоненте его границы особые точки.

Пр 1 Целая функция разлагается в ряд Маклорена во всей комплексной плоскости.

Пр 2 .

Опр Особая точка аналитической функции называется изолированной особой точкой однозначного характера (ИОТОХ), если аналитична в некоторой проколотой окрестности .

Опр ИОТОХ называется полюсом функции , если . Полюс называется полюсом порядка , если существует конечный и не равный нулю предел . Полюс первого порядка называется простым.

Пр Функция , имеет полюс порядка в точке .

ЗАМЕЧАНИЕПусть функция имеет ИОТОХ в . является полюсом тогда и только тогда, когда главная часть ряда Лорана имеет конечное число членов.

Опр Пусть - ИОТОХ функции . Вычетом этой функции в точке называется число , где - замкнутая спрямляемая жорданова кривая, охватывающая , причем ее внутренность должна оставаться слева при обходе точки по контуру .

ЗАМЕЧАНИЕВ силу теоремы Коши 10.4.2вычет не зависит от выбора .

ОпрПусть КЗФ непрерывна на . Если существует конечный предел

, то он называется интегралом в смысле главного значении.

1) Если , то . Если , то .

2) (основная теорема о вычетах) Если аналитическая в односвязной области за исключением ИОТОХов , - спрямляемая замкнутая жорданова кривая в , охватывающая , то .

3) Пусть у рациональной функции и не имеет нулей на прямой . Тогда

,

- нули , лежащие в соответствующей полуплоскости.

4) Если - полюс порядка функции , то .

5) Пусть в окрестности , функции аналитична в , и

имеет простой нуль в точке . Тогда точка является простым полюсом функции и .

Пр 1 Вычислим интеграл . Так как подынтегральная функция имеет простой полюс в точке и полюс второго порядка в точке внутри контура интегрирования, то по основной теореме о вычетах и пунктам 4, 5 теоремы имеем

.

Пр 2 Вычислим интеграл , который является обратным

преобразованием Фурье функции (смотри §8.3). При по пункту 3