Определение. Два комплексных числа, имеющие одну и ту же действительную часть и взаимно противоположные коэффициенты мнимых частей, называются взаимно) сопряженными.

Для любого комплексного числа z существует одно и только одно сопряженное с ним комплексное число, которое обозначается . Если , то . Очевидно, тогда и только тогда, когда z — действительное число.

Отметим, что сумма и произведение двух сопряженных комплексных чисел являются действительными числами:

Ранее было выведено правило деления комплексных чисел. Это правило можно проще получить с помощью сопряженных комплексных чисел.

Умножим числитель и знаменатель дроби — на число комплексно сопряженное со знаменателем. Выполнив действия и отделив действительную часть от мнимой, получаем:

Этот результат совпадает с формулой, полученной в п. 6.

Эту формулу можно не запоминать, а только помнить, что при делении надо числитель и знаменатель дроби умножить на число, комплексно сопряженное со знаменателем.

Теорема 1. Число, сопряженное с суммой или произведением комплексных чисел, есть сумма или соответственно произведение чисел, сопряженных данным комплексным числам:

Доказательство. Пусть . Тогда . Имеем:

Эта теорема показывает, что, поставив в соответствие каждому комплексному числу сопряженное с ним число, мы получили взаимно однозначное отображение поля комплексных чисел К на это же поле при котором сохраняются операции сложения и умножения.

Следствие 1. Число, сопряженное (натуральной) степени комплексного числа, равно той же степени числа, сопряженного данному:

коэффициенты которого — комплексные числа, то, заменив каждый коэффициент сопряженным ему комплексным числом мы получим новый многочлен, который обозначим через

Если теперь в полученном многочлене произвольное значение переменной заменить сопряженным ему значением то в силу доказанной выше теоремы и следствия I полученное значение многочлена будет комплексным числом, сопряженным с исходным значением многочлена

Если, в частности, все коэффициенты многочлена действительные числа, то один и тот же многочлен, и формула (3) дает:

Следствие 2. При замене в многочлене с действительными коэффициентами произвольного значения аргумента сопряженным ему числом значение многочлена также заменяется сопряженным ему числом.