4. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена
Степенные ряды являются частным случаем функциональных рядов.
Определение 1.1 . Степенным рядом называется функциональный ряд вида
Степенной ряд (1.1) называют рядом по степеням разности
Если переменной х придать какое-либо значение, то степенной ряд (1.1) (или (1.2)) превращается в числовой ряд, который может сходиться или расходиться.
Определение 1.2 . Областью сходимости степенного ряда называется множество тех значений х, при которых степенной ряд сходится.
Для нахождения области сходимости степенного ряда важную роль играет следующая теорема.
Теорема Абеля дает ясное представление о структуре области сходимости степенного ряда.
область сходимости степенного ряда (1.2) совпадает с одним из следующих интервалов:
где R – некоторое неотрицательное действительное число или
Из теоремы 1.2 следует, что для практического нахождения области сходимости степенного ряда (1.2) достаточно найти его радиус сходимости R и выяснить вопрос о сходимости этого ряда на концах интервала сходимости
Радиус сходимости R степенного ряда можно найти по одной из следующих формул:
Пример 1.1. Найти радиус сходимости, интервал сходимости и область сходимости степенного ряда
Следовательно, интервал сходимости данного ряда имеет вид
Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости.
Это – знакочередующийся ряд, члены которого убывают по абсолютной величине и
Следует отметить, что при почленном дифференцировании и интегрировании степенного ряда его радиус сходимости R не меняется, однако его сходимость на концах интервала
Приведенные свойства справедливы также и для степенных рядов (1.1).
Область сходимости этого ряда, как показано в примере 1.1, есть промежуток
Задачник по тфкп волковысский