(1)

(2)

и пусть каждый член ряда (1) не больше соответствующего члена ряда (2), т.е. начиная с некоторого номера , тогда

1. если сходится ряд (2), то сходится ряд (1);
2. если расходится ряд (1), то расходится и ряд (2).

Если , то ряды (1) и (2) ведут себя одинаково.

Обычно применяют признаки сравнения с известными сходящимися или расходящимися рядами. Так, известно, что обобщенный гармонический ряд сходится, если и расходится, если .

Пример 1. Выяснить, сходится ли ряд Решение. Сравним данный ряд с известным сходящимся гармоническим рядом :

, следовательно, оба ряда ведут себя одинаково, т.е. сходятся.

Пусть дан ряд

Если при существует предел модуля отношения последующего члена к предыдущему , равный :

,то при ряд сходится, при ряд расходится.

При ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся, и необходимо применить другой признак сходимости ряда.

Пример 2. Выяснить, сходится ли ряд Решение. Здесь , . Поэтому , следовательно, данный ряд сходится.

Если при существует предел корня n-ой степени из модуля общего члена, равный :

то при ряд сходится, при ряд расходится.

При ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся.

Пример 3. Выяснить вопрос о сходимости ряда . Решение. Применим радикальный признак Коши.

Здесь . , следовательно, данный ряд сходится.

Пусть дан ряд (32), члены которого являются значениями непрерывной функции при целых значениях аргумента , и пусть монотонно убывает в интервале . Тогда ряд сходится, если сходится несобственный интеграл , и расходится, если этот интеграл расходится.

Пример 4. Рассмотрим ряд К этому ряду не применим ни признак Даламбера, ни радикальный признак Коши (при применении признака Даламбера или радикального признака Коши получим ). Применим интегральный признак Коши:

Таким образом, мы доказали, что гармонический ряд сходится при и расходится при .

Задача Исследовать на сходимость числовые ряды .

1) Сравним данный знакоположительный ряд с гармоническим рядом который расходится. Воспользуемся предельным признаком сравнения:

Оба ряда ведут себя одинаково, следовательно, исследуемый ряд расходится.

2) . Воспользуемся признаком Даламбера. Для исследуемого ряда , .

Так как , то исследуемый ряд сходится.

3) Воспользуемся радикальным признаком Коши:

. Исследуемый ряд сходится.

4) . Воспользуемся интегральным признаком сходимости.

Так как интеграл расходится, то расходится и ряд .

Предлагаем наиболее хорошие на наш взгляд учебники для самостоятельного изучения математики и экономики

Компактные справочные материалы, формулы по различным разделам высшей математики и экономической статистики.

Некоторые задачи можно решить онлайн, введя числовые значения, с подробным решением.