Поскольку комплексное число мы определили как упорядоченную пару действительных чисел, то вполне естественно изобразить комплексное число точкой плоскости с декартовыми координатами либо вектором, идущим из начала координат в эту точку (рис. 1).

На оси Ох расположены все действительные числа, а на оси Оу – чисто мнимые, т.е. комплексные числа вида .

Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью (её также обозначают C). Ось абсцисс называется действительной осью, а ось ординат – мнимой.

Длина вектора , изображающего комплексное число , есть модуль комплексного числа:

,

а угол , который образует этот вектор с осью Ох, называется аргументом комплексного числа .

Очевидно, что угол определён с точностью до .

Условимся называть главным значением аргумента – значение угла в интервале . Символически главное значение аргумента комплексного числа обозначают:

Тогда всю совокупность значений аргумента обозначают символом:

при

при

Из рис. 1 легко получить соотношения: , тогда

.

Определение. Представление комплексного числа в виде называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

Для сокращения записи комплексных чисел в тригонометрической форме удобно использовать формулу Эйлера:

.

.

Определение. Представление комплексного числа в виде называется показательной формой записи комплексного числа.

Таким образом, комплексное число может быть записано в трёх равноправных формах:

– алгебраическая форма записи комплексного числа;

– тригонометрическая форма записи комплексного числа;

– показательная форма записи комплексного числа,

где ,

Пример 3.Записать комплексные числа в трёх формах записи:

а) ; б) ; б) и изобразить их векторами на плоскости.

Решение.а) – алгебраическая форма записи комплексного числа . Находим модуль и аргумент комплексного числа .

Здесь ,

Значит,

– тригонометрическая форма записи комплексного числа ;

– показательная форма записи комплексного числа .

б) – алгебраическая форма записи комплексного числа . Находим модуль и аргумент комплексного числа Здесь Значит,

– тригонометрическая форма записи комплексного числа ;

– показательная форма записи комплексного числа .

в) – алгебраическая форма записи комплексного числа . Находим модуль и аргумент комплексного числа Здесь

Значит,

– тригонометрическая форма записи комплексного числа ;

– показательная форма записи комплексного числа .