Сопряженное число: Если комплексное число , то число является сопряженным (либо комплексно сопряженным) к (часто обозначается как ).

На комплексной плоскости сопряженные числа находят зеркально отражая их относительно вещественной оси. Модуль сопряженного числа равен модулю исходного числа, а аргументы сопряженных чисел имеют противоположные знаки.

Мнимая единица i из определения умножения имеет свойство того, что квадрат ее равняется –1, то есть она является квадратным корнем из –1.

(–i) 2 = ((–1) i) 2 = (–1) 2 i 2 = –1,

что естественно. Можно сказать, что некоторый 1-н квадратный корень из –1 обозначаем через i, тогда 2-й корень запишем как (–i). Замена i на (–i) приводит к понятию комплексного сопряжения.

Переход к сопряженному числу рассматривают еще как одноместную операцию. Перечислим ее свойства.

• (сопряженное к сопряженному является исходным). Произведение и сумма комплексно-сопряженных чисел является действительным числом:
• 
• 

Доказательство :

=a₁a₂ – b₁b₂ – (a₁b₂ + a₂b₁)i.

= (a₁ – b₁i)(a₂ – b₂i) =

Обобщим: , где — произвольно взятый многочлен с вещественными коэффициентами. Отсюда видно, что у многочлена с вещественными коэффициентами есть или лишь действительные корни, или, если он имеет корни с не равной нулю мнимой частью, то они разбиваются на пары комплексно-сопряженных.

Умножение числителя и знаменателя комплексной дроби при комплексном знаменателе на сопряженное к знаменателю выражению используют для того, что бы избавиться от комплексности знаменателя. Это дает возможность выразить выражение в канонической форме комплексного числа или функции.

Значимость сопряжения объясняют тем, что оно есть образующей группы Галуа .