Построим схему графика функции вблизи точки разрыва:

Задание 2. Построить график функции без применения производной

1. Область определения функции ,

— не существует, значит — точка разрыва.

Значит, точка — точка разрыва II рода.

«Исследование функции на экстремум по второй производной»

Если в критической точке (в которой производная или не существует) вторая производная функции положительна, то в этой критической точке будет точка минимума (Рис.1), а если в критической точке вторая производная отрицательна, то в этой точке будет точка максимума (Рис.2).

Правило исследования функции на экстремум по второй производной:

1. Найти производную .

2. Найти критические точки функции, решив уравнение

3. Найти производную .

4. Вычислить в найденных критических точках значение производной.

5. По знаку производной сделать вывод о том, является ли критическая точка точкой максимума или точкой минимума.

6. Вычислить в найденной точке экстремума сам экстремум функции.

Если в критической точке вторая производная оказалась равна нулю, то это неопределённый случай, и тогда исследовать на экстремум придётся по первой производной.

Пример 1. Исследовать функцию на экстремум по второй производной.

1. Найдём первую производную: ;

2. Найдём критические точки функции: , тогда получим уравнение

, — критические точки функции;

3. Найдём вторую производную: ;

4. Определим знак второй производной в найденных критических точках:

, значит, точка — точка max,

, значит, точка — точка min;

5. Вычислим значение экстремума функции в точках экстремума:

Ответ: при ,

при .

«Исследование функции по первой и второй производной

Пример 1. Исследовать функцию по первой и второй производной и построить её график: