При построении графика функции необходимо провести ее предварительное исследование. Примерная схема исследования функции с целью построения ее графика имеет следующую структуру:
- Область определения
и область допустимых значений 
функции. - Четность, нечетность функции.
- Точки пересечения с осями.
- Асимптоты функции.
- Экстремумы и интервалы монотонности.
- Точки перегиба и промежутки выпуклости, вогнутости.
- Сводная таблица.
Схема представлена как примерная. Пункты исследования можно опускать, если они дают банальную информацию, или переставлять, если обнаруживаются интересные особенности поведения графика.
Для уточнения графика можно найти некоторые дополнительные точки, но иногда удается обойтись и без них.
Рекомендуется строить график одновременно с исследованием функции, нанося на координатную плоскость информацию по завершении каждого пункта исследования.
Задание. Исследовать функцию 
и построить ее график.
б) с осью 
: в данной точке функция неопределенна.
а) вертикальные: прямые 
и 
- вертикальные асимптоты.
то есть прямая 
- горизонтальная асимптота.
в) наклонные асимптоты 
:
Найдем точки, в которых первая производная равна нулю или не существует: 
для любого 
из области определения функции; 
не существует при 
и 
.
Таким образом, функция убывает на всей области существования. Точек экстремума нет.
Найдем точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует: 
; при и вторая производная не существует.
Таким образом, на промежутках 
и 
функция вогнута, а на промежутках 
и 
- выпукла. Так как при переходе через точку 
вторая производная поменяла знак, то эта точка является точкой перегиба.
Методичка по начертательной геометрии и инженерной графике
Исследовать ряд на сходимость онлайн с решением по признаку даламбера