Отдельно найдём предел $\lim_\sqrt[n]<3n^2+7>$. Рассмотрим функцию $y(x)=\left(3x^2+7\right)^\frac<1>$ при условии $x≥ 1$. Вычислим предел этой функции при $x\to +\infty$. В нахождении предела поможет правило Лопиталя. Так как $a^b=e^$ ($a > 0$), то $\left(3x^2+7\right)^\frac<1>=e^<\frac<1>\cdot\ln\left(3x^2+7\right)>$. Итак:

Обратимся к пределу $\lim_\left(\frac<1>\cdot\ln\left(3x^2+7\right)\right)=\lim_\frac<\ln\left(3x^2+7\right)>$. Мы имеем неопределённость вида $\frac<\infty><\infty>$, которую раскроем с помощью правила Лопиталя:

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=\frac<7^n\cdot n!>$. Так как $u_n ≥ 0$, то заданный ряд является положительным.

Общий член ряда содержит произведение элементов в степени $n$. Кроме того, есть $n!$, который несколько не укладывается в структуру. В этом случае удобно применить признак Д'Аламбера. Однако при желании можно использовать и радикальный признак Коши. Так как при $n\to\infty$ имеем $n\sim\left(\frac\right)^n\cdot\sqrt<2\pi n>$ (формула Стирлинга), то:

Так как $\lim_\sqrt[2n]<2\pi n>=1$ (это доказывается точно так же, как в предыдущем примере доказывалось равенство $\lim_\sqrt[n]<3n^2+7>=1$), то $\lim_\sqrt[n]=\frac<7>\cdot 1=\frac<7>$. Так как $\frac<7>< 1$, то заданный ряд сходится.

Кстати сказать, сходимость этого ряда можно также проверить с помощью первого признака сравнения (см. пример №9 на странице по ссылке).