государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования

"российский государственный торгово-экономический университет"

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

а) = Мы имеем дело с неопределенностью вида . Приводим выражение к общему знаменателю:

Тогда вынесем х в старшей степени за скобку в числителе и знаменателе 1-й дроби и знаменателе второй дроби после чего - сократим. Получим:

б) Так как функция непрерывна на (0;∞) , то Мы имеем дело с неопределенностью вида . Тогда вынесем х 2 скобку в числителе и знаменателе и сократим. Получим:

в) ; В данном случаем мы имеем дело с неопределенностью вида . Выражение является сопряженным по отношению к выражению , а к выражению соответственно. Умножая числитель и знаменатель дроби на произведение сопряженных выражений , и используя формулу , получим:

Ответ:

Подстановка числа 6 вместо х показывает, что пределы числителя и знаменателя равны нулю. Следовательно, нам потребуется раскрыть неопределённость 0/0. Для этого можно либо провести тождественные преобразования выражения , либо применить правило Лопиталя.

Уравнение _{тождественно уравнению} где x₁ и x₂ корни квадратного уравнения Исходя из этого получаем: =

Другое решение задачи. Воспользуемся правилом Лопиталя

так как функция непрерывна в точке х=6, подставляем х=6

Подстановка числа 0 вместо х показывает, что предел числителя и предел знаменателя при х→0 равны нулю. Поэтому имеет место неопределённость 0/0. Для того, чтобы раскрыть неопределённость можно либо провести тождественные преобразования выражения , либо применить правило Лопиталя.

1. Совершим необходимые тождественные, тригонометрические преобразования:

2. Другое решение задачи. Воспользуемся вновь правилом Лопиталя

_{Снова имеем неопределенность 0/0. Применяем правило Лопиталя:}

замена переменной ; так как =0, то y→0, следовательно:

используем второй замечательный предел

а) ,Используем формулу производной дроби:

_{и формулу производной степенной функции:}

.б) _,Найдём сначала производную функции , используя формулу производной степенной функции:

Теперь находим в таблице производных сложных функций формулу подставляя , получаем

Функция у(х) представляет собой произведение трёх функций u(х)= (sinx), v(x)= e 2 x и w(x)= ln(sinx). Используя правило Лейбница, можно вывести общую формулу:

Далее используя формулу производной сложной функции

Пользуясь основным логарифмическим тождеством y=e lny , представим y(x) в виде y(x)=(e ln ( sinx ) ) lnx . Так как (a b ) c =a bc , то y(x)= e lnx ln ( sinx ) . и поэтому

В последнем равенстве мы вновь воспользовались формулой у =(sinx) lnx = e lnx ln ( sinx ) .