Пусть комплексное число записано в тригонометрической форме .

Запишем его корень также в тригонометрической форме записи

По определению корня имеем .

. Отсюда находим модуль корня

и аргумент

; .

Итак, корень степени n из комплексного числа извлекается по формуле

где

Для любого комплексного числа различных корней степени n ровно n штук. Все они расположены на окружности с центром в начале координат

с радиусом и делят эту окружность на n равных частей.

Пример 2.Вычислить .

Запишем число i в тригонометрической форме .

Применим формулу извлечения корня из комплексного числа

при .

Подставляя получаем различные значения корня

Извлечение корня квадратного из комплексного числа

Запишем квадратный корень из числа в алгебраической форме

. Возведем это равенство в квадрат:

Приравнивая действительные и мнимые части, а также, учитывая, что модуль числа равен квадрату модуля его корня, получаем систему

Решая эту систему, находим , откуда

.

Пример 3.Вычислить .

Действительная и комплексная части равны a=3 и b=4. Вычислим по найденной формуле действительную и комплексную части его корня

Итак, .

Рассмотрим многочлен степени n с комплексными коэффициентами от комплексной переменной

, где комплексная переменная;

комплексные числа.

Любой многочлен можно поделить на многочлен с остатком,

где

– делитель, – остаток, – частное.

Определение.Число z₀ называется корнем многочлена , если =0.

Теорема Безу.Число является корнем многочлена тогда и только тогда, если делится нацело на .

Пусть – корень многочлена . Поделим на многочлен

с остатком: , где R – число.

Положим в этом равенстве _. Так как – корень, то , следовательно и делится нацело на .

Пусть делится на без остатка, тогда . Подставляя в это равенство , получаем , следовательно, по определению, является корнем многочлена .

Определение.Число – корень многочлена кратности k , если многочлен можно представить в виде , где не является корнем многочлена , то есть .

Утверждение.Число является корнем кратности k многочлена тогда и только тогда, если является корнем этого многочлена и всех его производных до порядка включительно, то есть а .

Необходимость. Пусть известно, что , где .

Очевидно, что , то есть является корнем многочлена. Покажем, что является корнем производных многочлена до порядка включительно. Вычислим производную порядка по формуле

При все слагаемые в правой части в точке будут равны нулю, и тогда . Если же , то в точке все слагаемые, кроме последнего, равны нулю. Последнее же слагаемое отлично от нуля в силу условия . Отсюда

Достаточность. Разложим многочлен в точке по формуле Тейлора

Так как первые k слагаемых в правой части обращаются в ноль, то многочлен можно представить в виде

.

При этом многочлен

в точке в ноль не обращается, так как по условию.

Тогда будет корнем кратности k по определению.