Напомним определение комплексной экспоненты – . Тогда

-- разложение в ряд Маклорена. Радиус сходимости этого ряда равен +∞, значит комплексная экспонента аналитична на всей комплексной плоскости и

Первое равенство здесь следует, например, из теоремы о почленном дифференцировании степенного ряда.

Синусом комплексного переменного называется функция

Гиперболический синус комплексного переменного определяется так:

Гиперболический косинус комплексного переменного -- это функция

Б. Имеет место следующая связь тригонометрических и гиперболических функций:

В. Основные тригонометрическое и гиперболическое тождества:

Доказательство основного гиперболического тождества.

Основное тригонометрическое тождество следует из оновного гиперболического тождества при учете связи тригонометрических и гиперболических функций (см. свойство Б)

Д. Для вычисления производных тригонометрических и гиперболических функций следует применить теорему о почленном дифференцировании степенного ряда. Получим:

Е. Функции cos z, ch z четны, а функции sin z, sh z нечетны.

Ж. (Периодичность) Функция e z периодична с периодом 2π i. Функции cos z, sin z периодичны с периодом 2π , а функции ch z, sh z периодичны с периодом 2πi. Более того,

Если однозначная аналитическая функция f(z) отображает биективно область D на область G, то D называется областью однолистности.

И. Область D_k= < x+iy | 2π k≤ y<2π (k+1)>для любого целого k является областью однолистности функции e z , которая отображает ее на область ℂ* .

Доказательство. Из соотношения (5) следует инъективность отображения exp:D_k→ ℂ . Пусть w -- любое ненулевое комплексное число. Тогда, решая уравнения e x =|w| и e iy =w/|w| с действительными переменными x и y (y выбираем из полуинтеравала [2πk, 2π (k+1))), получим z=x+iy∈D_k такое, что exp z=w. Сюръективность доказана.

К. Область значений. Область значений функций cos z, sin z, ch z, sh z есть все поле комплексных чисел.

Л. Нули Решением уравнения sin z=0 является множество <πk | k∈ ℤ >. Нули функции cos z -- множество < π /2+πk | k∈ ℤ >. Нулями функции sh z является множество < πki | k∈ ℤ>, а нули функции ch z -- множество < π/2i+πki | k∈ ℤ >.

Доказательство. Имеет место соотношения sin z=0 тогда и только тогда, когда e iz -e -iz =0 Это равносильно соотношению e 2iz =0, что дает 2iz=2πik. Окончательно, z=2πk (k∈ ℤ ). Аналогично доказываются утверждения для остальных функций.□

Функция tg z=sin z /cos z называется тангенсом, а функция th z= sh z/ ch z называется гиперболическим тангенсом. Производные тангенсов вычисляются c использованием известного правила "производная отношения":

Область допустимых значений тангенса tg z есть многосвязная область ℂ \ <π /2+πk | k∈ ℤ >

Главным значением аргумента ненулевого комплексного числа z назовем то единственное действительное число 𝜑 ∈ [0,2π ), для которого z /| z| =exp(i𝜑 ). Обозначаем главное значение аргумента как arg z.

Всевозможные решения уравнения exp(i𝜑 )= z /| z| относительно переменной 𝜑, т.е. множество назовем аргументом комплексного числа z и обозначим Arg z. Таким образом Arg z -- многозначная функция.