Пусть в векторном пространстве имеются два базиса: и , . Представим каждый из векторов базиса в виде разложения по базису :

(27)

Матрица , составленная из коэффициентов разложения векторов базиса в базисе , называется матрицей перехода от базиса к базису . Матрица имеет вид:

(28)

Матрица является невырожденной, так как в противном случае ее строки были бы линейно зависимыми, что противоречило бы линейной независимости векторов базиса . Нетрудно видеть, что матрицей обратного перехода от базиса к базису является обратная матрица .

Пусть произвольный вектор имеет координаты и в базисах и , т.е.

(29)

Найдем связь между координатами вектора в базисах и . Подставим в правую часть равенства (29) координаты разложения (27) векторов базиса в базисе . В силу единственности разложения вектора в базисе получаем:

(30)

Система (30) представляет собой формулы пересчета координат вектора при переходе от базиса к базису .

В матричной форме система соотношений (14) представима в виде

(31)

где , - векторы-столбцы координат вектора в базисах и , - транспонированная матрица . Аналогично пересчет координат вектора при переходе от базиса к базису определяется уравнением

(32)

где - транспонированная матрица .

Пример.Векторы , , и заданы в базисе . Представить вектор в виде разложения по базису .

Решение. Первоначально убедимся, что векторы линейно независимы и образуют базис в пространстве , для чего вычислим определитель, составленный из координат этих векторов:

.

Связь между базисами выражается следующей системой уравнений:

Матрица перехода от базиса к базису , составленная из коэффициентов разложения векторов в базисе , имеет вид:

.

Находим обратную матрицу и затем транспонированную матрицу :

, .

По формуле получаем координаты вектора в базисе :

.

Это означает, что вектор представляется в виде линейной комбинации векторов :