Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с помощью обратной матрицы (иногда этот способ именуют ещё матричным методом или методом обратной матрицы) требует предварительного ознакомления с таким понятием как матричная форма записи СЛАУ. Метод обратной матрицы предназначен для решения тех систем линейных алгебраических уравнений, у которых определитель матрицы системы отличен от нуля. Естественно, при этом подразумевается, что матрица системы квадратна (понятие определителя существует только для квадратных матриц). Суть метода обратной матрицы можно выразить в трёх пунктах:

1. Записать три матрицы: матрицу системы $A$, матрицу неизвестных $X$, матрицу свободных членов $B$.
2. Найти обратную матрицу $A^<-1>$.
3. Используя равенство $X=A^<-1>\cdot B$ получить решение заданной СЛАУ.

Любую СЛАУ можно записать в матричной форме как $A\cdot X=B$, где $A$ – матрица системы, $B$ – матрица свободных членов, $X$ – матрица неизвестных. Пусть матрица $A^<-1>$ существует. Умножим обе части равенства $A\cdot X=B$ на матрицу $A^<-1>$ слева:

Так как $A^<-1>\cdot A=E$ ($E$ – единичная матрица), то записанное выше равенство станет таким:

Перед переходом к чтению примеров рекомендую ознакомиться с методами вычисления обратных матриц, изложенными здесь.

Решить СЛАУ $ \left \ < \begin& -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11. \end \right.$ с помощью обратной матрицы.

Запишем матрицу системы $A$, матрицу свободных членов $B$ и матрицу неизвестных $X$.

Найдём обратную матрицу к матрице системы, т.е. вычислим $A^<-1>$. В примере №2 на странице, посвящённой нахождению обратных матриц, обратная матрица была уже найдена. Воспользуемся готовым результатом и запишем $A^<-1>$:

Теперь подставим все три матрицы ($X$, $A^<-1>$, $B$) в равенство $X=A^<-1>\cdot B$. Затем выполним умножение матриц в правой части данного равенства.

Итак, мы получили равенство $\left(\begin x_1\\ x_2 \end\right)=\left(\begin -3\\ 2\end\right)$. Из этого равенства имеем: $x_1=-3$, $x_2=2$.

Решить СЛАУ $ \left\ <\begin& x_1+7x_2+3x_3=-1;\\ & -4x_1+9x_2+4x_3=0;\\ & 3x_2+2x_3=6. \end\right.$ методом обратной матрицы.

Запишем матрицу системы $A$, матрицу свободных членов $B$ и матрицу неизвестных $X$.

Теперь настал черёд найти обратную матрицу к матрице системы, т.е. найти $A^<-1>$. В примере №3 на странице, посвящённой нахождению обратных матриц, обратная матрица была уже найдена. Воспользуемся готовым результатом и запишем $A^<-1>$:

Теперь подставим все три матрицы ($X$, $A^<-1>$, $B$) в равенство $X=A^<-1>\cdot B$, после чего выполним умножение матриц в правой части данного равенства.

Итак, мы получили равенство $\left(\begin x_1\\ x_2 \\ x_3 \end\right)=\left(\begin 0\\-4\\9\end\right)$. Из этого равенства имеем: $x_1=0$, $x_2=-4$, $x_3=9$.

Естественно, что решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы без применения специальных программ вроде Mathcad возможно лишь при сравнительно небольшом количестве переменных. Если СЛАУ содержит четыре и более переменных, то гораздо удобнее в таком случае применить метод Гаусса или метод Гаусса-Жордана.