Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение 1–го порядка

Интегральная кривая y = y ( x ) имеет касательную с угловым коэффициентом k = f ( x , y ( x )) . Это означает, что через каждую точку ( x , y ) области определения функции f ( x , y ) можно провести небольшой отрезок с угловым коэффициентом k = f ( x , y ( x )) .

Выполнив такое построение для всех узлов некоторой прямоугольной сетки в области определения правой части уравнения , получим изображение поля направлений.

Когда узлы сетки расположены "достаточно часто" поле направлений дает полную картину поведения интегральных кривых.

Метод изоклин — приближенный графический метод решения обыкновенных дифференциальных уравнений 1–го порядка.

Метод позволяет "вручную" (без использования компьютера) построить изображение поля направлений и по этому изображению построить интегральную кривую, проходящую через заданную точку.

Рассмотрим линии, в каждой точке которых угловой коэффициент интегральных кривых имеет одно и то же постоянное значение: f ( x , y ) = k , k = const .

Такие кривые называются изоклинами дифференциального уравнения y ' = f ( x , y ). Равенство f ( x , y ) = k — уравнение изоклины .

В каждой точке ( x , y ) изоклины f ( x , y ) = k интегральные кривые уравнения имеют один и тот же угол наклона αrc tg( α ) = k .

Строим достаточно густую сетку изоклин для различнх значений k и на каждой изоклине изображаем небольшие отрезки с наклоном k .

Затем, начиная из точки ( x ₀, y ₀), поводим линию, которая, будет пересекать каждую изоклину под углом, заданным полем направлений. Полученная таким образом кривая и будет приближенным изображением (эскизом) интегральной кривой уравнения, проходящей через точку ( x ₀, y ₀).

На рисунке изображены изоклины для k = 1,2, … ,15,16 и интегральная кривая, проходящая через точку (0,0) .

Метод изоклин как метод приближенного решения задачи Коши устарел. В его в основе лежит алгоритм изображения фрагмента поля направления, а современные компьютеры могут мгновенно и как угодно подробно нарисовать поле направлений, и достаточно точно изобразить интегральную кривую.

Однако, метод изоклин эффективно работает как инструмент исследования поведения решений. Он позволяет изобразить области характерного поведения интегральных кривых.

Например, изоклина f ( x , y ) = 0 — геометрическое место стационарных точек решения дифференциального уравнения, изоклины f ( x , y ) = k с большими значениями k показывают области быстрого роста решений и т.п.

На рисунке показано, как помогают изоклины "увидеть" точки экстремума интегральной кривой и судить о поведении решений дифференциального уравнения.