Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Пусть $a=re^, \,\, a\neq 0,-$ фиксированное комплексное число. Тогда уравнение $z^n=a,\,\,\, n\in N,$ имеет в точности $n$ различных решений $z_0, z_1, . z_$ причем эти решения даются формулой $$z_k=\sqrt[n]e^+\frac<2\pi>k\right)>=\sqrt[n]\left(\cos\frac<\varphi+2\pi k>+i\sin\frac<\varphi+2\pi k>\right),$$ $$k=0, 1, . , n-1.$$ (здесь $\sqrt r$ действительное положительное число) Числа $z_k, \,\, k=0, 1, . n-1,$ называются корнями $n-$й степени из комплексного числа $a$ и обозначаются символом $\sqrt[n].$

Отсюда находим $e^+e^<-i\varphi>=\cos\varphi+i\sin\varphi+\cos\varphi-i\sin\varphi=2\cos\varphi.$

Cледовательно, $\cos\varphi=\frac+e^<-i\varphi>><2>.$ Что и требовалось доказать.

Используя формулу Муавра, вычислить следующие выражения:

Таким образом, мы можем записать число $z=1+i$ в показательной форме: $z=\sqrt 2 e^<4>>.$

1.491. Используя формулу Муавра, выразить через $\cos\varphi$ и $\sin\varphi$ функцию$\cos 3\varphi.$

$$+\left.\cos^3(-\varphi)-3i\cos^2(-\varphi)\sin(-\varphi)+3i^2\cos(-\varphi)\sin^2(-\varphi)-i^3\sin^3(-\varphi)\right)=$$ $$=\frac<1><2>\left(\cos^3<\varphi>+3i(1-\sin^2\varphi)\sin\varphi-3\cos\varphi(1-\cos^2\varphi)\right.-i\sin^3\varphi+$$ $$+\left.\cos^3\varphi+3i(1-\sin^2\varphi)\sin\varphi-3\cos\varphi(1-\cos^2\varphi)-i\sin^3\varphi\right)=$$ $$=\cos^3\varphi+3i\sin\varphi-3i\sin^3\varphi-3\cos\varphi+3\cos^3\varphi-i\sin^3\varphi=$$ $$=4\cos^3\varphi-3\cos\varphi+3i\sin\varphi-4i\sin^3\varphi.$$

1.495. Найти и изобразить на комплексной плоскости все корни 2-й, 3-й и 4-й степени из единицы.

Далее, пользуясь формулой Муавра вычисляем корень второй степени из единицы:

Ответ: Корни второй степени: $z_0=1;\,\, z_1 =-1.$ Корни третьей сепени: $z_0=1;\,\, z_1=-\frac<1><2>+i\frac<\sqrt 3><2>;\,\, z_2=-\frac<1><2>-i\frac<\sqrt 3><2>.$ Корни четвертой степени: $z_0=1;\,\, z_1=i;\,\, z_2=-1;\,\, z_3=-i.$

Таким образом, мы можем записать число $z=-1+i\sqrt 3$ в показательной форме: $z=2 e^<3>>.$

Пользуясь формулой Муавра вычисляем корень второй степени из единицы:

Таким образом, мы можем записать число $z=-1-i$ в показательной форме: $z=\sqrt 2 e^<4>>.$

Пользуясь формулой Муавра вычисляем корень второй степени из единицы:

Используя формулу Муавра, вычислить следующие выражения:

Используя формулу Муавра, выразить через $\cos\varphi$ и $\sin\varphi$ следующие функции: