Для многочленов кольца имеет место теорема, аналогичная теореме о разложении целого числа на простые множители.

Теорема . (Основная теорема теории делимости многочленов). Всякий многочлен из выше нулевой степени разлагается в произведение неприводимых многочленов:

( – неприводимый многочлен над полем ), и это разложение является единственным с точностью до порядка следования и множителей нулевой степени.

Доказательство. Покажем сначала, что всякий многочлен из выше нулевой степени можно разложить в произведение неприводимых множителей. Для неприводимого утверждение очевидно. В этом случае получается разложение из одного неприводимого множителя: .

Поэтому пусть приводим. Тогда , где и – многочлены из более низкой степени, чем . Если один или оба сомножителя и приводимы, то один или оба сомножителя и будут разлагаться на дальнейшие сомножители более низкой степени, и мы получим разложение самого многочлена на большее число сомножителей, чем в первоначальном разложении, и т. д. Этот процесс дальнейшего разложения не может быть бесконечным, так как степени сомножителей не могут бесконечно понижаться. Следовательно, в итоге дойдем до разложения многочлена на неприводимые множители.

Теперь докажем вторую половину теоремы - единственность разложения на неприводимые множители.[1]

Пусть многочлен двумя способами разлагается на произведение неприводимых многочленов:

и , где и - многочлены, неприводимые над . Без ограничения общности можно предположить, что . Тогда

Левая часть последнего равенства содержит и потому делится на . Следовательно, на должна делиться и правая часть. Отсюда в силу свойства неприводимых многочленов должен делиться на по меньшей мере один из сомножителей правой части. Пусть для определенности делится на . Тогда по свойству неприводимых многочленов и должны быть ассоциированными , где – число из поля . Подставляя это значение в правую часть равенства и производя сокращение обеих частей равенства на , получаем:

Повторяем относительно последнего равенства аналогичные рассуждения.[2] Получим , где – число из . Затем после соответствующего сокращения обеих частей равенства получим: и т. д. Докажем, что . В самом деле, если предположить, что , то после всех таких последовательных сокращений мы получили бы равенство . Но это равенство невозможно, так как 1 не может делиться на многочлены , имеющие степень выше нулевой.

Итак, и . ð

2. Винберг Э.Б. Алгебра многочленов. - М.: Просвещение, 1984.