Число – одно из фундаментальных понятий математики. Из школьного курса математики нам известны натуральные, целые, рациональные и действительные числа. Давайте вспомним, каким образом в истории математики происходило развитие понятия числа и что способствовало появлению новых числовых множеств на каждом этапе ( ).

В 16 в встает проблема, которая связана с неразрешимостью на множестве действительных чисел уравнений типа . Таким образом, появляется необходимость в расширении множества так, чтобы в новой числовой системе было разрешимо уравнение указанного типа и сохранялись все свойства операций над действительными числами. Впервые решение этой проблемы предложили итальянские математики Кардано и Бомбелли. Далее мы восстановим их рассуждения.

Рассмотрим множество упорядоченных пар действительных чисел

,

и назовем элементы этого множества комплексными числами. На множестве комплексных чисел зададим операции сложения и умножения:

и .

Покажем, что построенная числовая система удовлетворяет указанным выше условиям. Во-первых, любое действительное число a можно рассматривать как пару , а значит, множество содержит действительные числа. Во-вторых, , .

Теорема (свойства операций на множестве комплексных чисел)

1. Сложение комплексных чисел коммутативно, ассоциативно.

2. Умножение комплексных чисел коммутативно, ассоциативно, дистрибутивно относительно сложения.

3. Нулем на множестве комплексных чисел является пара .

4. Для каждого комплексного числа есть противоположное число.

5. Единицей на множестве комплексных чисел является пара .

6. Для каждого ненулевого комплексного числа есть обратное число.

7. На множестве комплексных чисел разрешимо уравнение .

Доказательство. 1) Покажем, что сложение на множестве C коммутативно: . Действительно,

.

Покажем, что сложение на множестве C ассоциативно: . Действительно,

2) Коммутативность и ассоциативность умножения докажите самостоятельно. Покажем, что умножение дистрибутивно относительно сложения на множестве комплексных чисел: . Преобразуем левую часть тождества:

. Преобразуем правую часть тождества:

. Легко видеть, что левая и правая части равны.

3) Покажем, что – ноль на множестве комплексных чисел:

.

4) Покажем, что противоположным для комплексного числа является число . Действительно, .

5) Самостоятельно докажите, что .

6) Покажем, что любое комплексное число имеет обратное. Если – число, обратное для , то . Преобразуя последнее равенство, получим систему уравнений с двумя неизвестными: Откуда находим , . Таким образом, – число, обратное для .

7) Рассмотрим уравнение . На множестве C оно примет вид , , . Получили систему уравнений с двумя неизвестными , решениями которой являются пары и ■

Комплексное число называют мнимой единицей.