Множество $X$ называется подмножеством множества $Y$, если любой элемент множества $X\in\ Y$. Принято обозначать это следующим образом: $X\subseteq\ Y$.

Если необходимо указать, что $Y$ содержит и другие элементы, а не только элементы множества $X$, то принято использовать символ строгого включения $\subset\ : X\subset\ Y$.

Связь между символами строгого и не строгого включения ($\subset$ и $\subseteq$) показана выражением:

Выделим некоторые свойства, которые вытекают из определения:

• $X\subseteq\ X$ (рефлексивность);
• $\left[X\subseteq\ Y \ и \ Y\subseteq\ Z\right] \Rightarrow\ X\subseteq\ Z$ (транзитивность);
• $\varnothing\ \subseteq\ M$. Отметим, что пустое множество является подмножеством любого подмножества.

Начальное множество $A$ по отношению к его подмножествам является полным множеством и его принято обозначать $I$.

Собственное множество множества $A$ — это любое подмножество $A_i$ множества $A$.

Булеаном множества $X$ — называется множество, состоящее из всех подмножеств данного множества $X$ и пустого множества $\varnothing$. Принято обозначать как $\beta(X)$. Множество булеана $\left|\beta(X)\right|=2^n$.

Счетное множество — это множество $A$, которое совпадает по мощности с множеством натуральных чисел $N$. Другими словами — если множество, эквивалентно множеству натуральных чисел, то оно называется счетным множеством.

Множество $A$ называется несчётным, если оно бесконечно и не является счётным.

• Перечислением$(X=\left\, Y=\left\<1\right\>, Z=\left\<1,2,…,8\right\>, M=\left\,m_<2>,m_<3>. m_\right\>)$;
• Описанием — указываются характерные свойства , которыми обладают все элементы множества.

Конечные множества можно задать только перечислением их элементов (например, множество дней в месяце).

Для задания бесконечных множеств нужно описать свойства их элементов (например, множество рациональных чисел можно задать описанием $Q=\left\$.

Подмножеством множества $A$ можно рассматривать само множество $A$ и пустое множество $\varnothing$. Эти два подмножества называются несобственными. Остальные подмножества множества $A$ будут называться собственными.