п.1. Угол между векторами. Угол между вектором и осью.

Определение. Углом между двумя векторами, отложенными от одной точки, называется кратчайший угол, на который нужно повернуть один из векторов вокруг своего начала до положения сонаправленности с другим вектором.

Обозначение. . Из определения следует, что .

Мы полагаем очевидным, что при параллельном переносе любого из двух векторов угол между ними остается неизменным, только в этом случае поворот одного из векторов осуществляется либо в общей для обоих векторов плоскости, либо в плоскости параллельной другому вектору.

Определение. Углом между вектором и осью называется угол между данным вектором и любым правоориентированным вектором этой оси.

Обозначение. .

Пусть дан вектор и ось L. Через точки А и В проведем соответственно плоскости и перпендикулярные оси L и точки пересечения оси L с этими плоскостями обозначим соответственно через и . Тогда по определению, точка является проекцией точки А на ось L, а точка – проекция точки В на ось L.

Определение. Проекцией вектора на ось L называется число равное модулю вектора , если он правоориентированный на оси L или противоположное ему число в противном случае. Здесь – проекция точки А на ось L, – проекция точки В на ось L.

Проекция вектора на ось не зависит от выбора точки его начала и может быть вычислена по формуле:

Доказательство.1) Рассмотрим сначала ситуацию, когда вектор отложен от точки А оси L. Здесь возможны два случая, когда угол между данным вектором и данной осью является острым или тупым.

В первом случае (рис.4) и по определению проекции вектора на ось

где последнее равенство следует из прямоугольного треугольника .

Во втором случае (рис.5) и тогда , ч.т.д.

2) Пусть теперь вектор отложен от произвольной точки А пространства точек S. Найдем проекцию вектора на ось L (см. рис.3). Далее, через точку проведем прямую параллельно прямой АВ и обозначим через С точку её пересечения с плоскостью . Смотри, далее, рисунок 6.

Рассмотрим четырехугольник . Сторона по построению, стороны , как линии пересечения параллельных плоскостей и плоскостью четырехугольника . Таким образом, четырехугольник – параллелограмм и . А так как точка С лежит на плоскости , то точка – проекция точки С на ось L и, следовательно, . Из равенства векторов следует равенство их модулей и равенство углов между этими векторами и осью L, откуда, по уже доказанной в первой части этого доказательства формуле, получаем: