Примеры с решением комплексных чисел даны в конце статьи, а пока разберемся с тем, что же такое комплексные числа.

В математике кроме натуральных, рациональных и вещественных чисел имеется ещё один вид, называемый комплексными числами. Такое множество принято обозначать символом .

Рассмотрим, что из себя представляет комплексное число. Запишем его таким образом: , в котором мнимая единица , числа вещественные.

Если положить , то комплексное число превращается в вещественное. Таким образом, можно сделать вывод, что действительные числа это частный случай комплексных и записать это в виде подмножества . К слову говоря также возможно, что .

Принято записывать мнимую часть комплексного числа как , а действительную .

Введем понятие комплексно-сопряженных чисел. К каждому комплексному числу существует такое, что , которое и называется сопряженным. Такие числа отличаются друг от друга только знаками между действительной и мнимой частью.

Так сложилось в математике, что у данных чисел несколько форм. Число одно и тоже, но записать его можно по-разному:

Далее с примерами решений вы узнаете как переводить комплексные числа из одной формы в другую путем несложных действий в обе стороны.

Изучение выше мы начали с алгебраической формы. Так как она является основополагающей. Чтобы было понятно в этой же форме изобразим комплексное число на плоскости:

Видим, что расположены на соответствующих осях плоскости.

Модуль равняется длине вектора и находится по формуле

Аргумент комплексного числа нужно находить по различным формулам в зависимости от полуплоскости, в которой лежит само число.

Над комплексными числами можно проводить различные операции, а именно:

• Складывать и вычитать
• Умножать и делить
• Извлекать корни и возводить в степень
• Переводить из одной формы в другую

Для нахождения суммы и разности складывается и вычитаются только соответствующие друг другу члены. Мнимая часть только с мнимой, а действительная только с действительной:

Для возведения в степень необходимо умножить комплексное число само на себя необходимое количество раз, либо воспользоваться формулой Муавра:

Для извлечения корней необходимо также воспользоваться формулой Муавра:

Так же теория комплексных чисел помогает находить корни многочленов. Например, в квадратном уравнении, если , то вещественных корней нет, но есть комплексные. В последнем примере рассмотрен данный случай.

Рассмотрим на практике комплексные числа: примеры с решением.